Seminar Mata Kuliah Tesi Triani Putri Pendidikan Matematika UNRI 2000

BAB I

PENDAHULUAN

Pada umumnya, misalkan bahwa (X,Y) suatu pengamatan bebas yang berasal dari populasi dwi peubah, dan ini memang cocok dalam berbagai hal untuk menentukan garis regresi. Akan tetapi, dalam banyak hal lainnya seperti pada ilmu pengetahuan alam X₁, X₂, …, X_n bukanlah peubah acak (misalnya, peubah ini mungkin menyatakan banyaknya katalis yang disediakan oleh si pencoba ataupun banyaknya pupuk). Dalam hal ini dapat diberikan tambahan alasan teori penggunaan penaksir kuadrat terkecil dari dan . Dalam penaksir tersebut sama sekali tidak menggunakan bahwa X₁, X₂, …, X_n tidak acak. Alasan ini bersifat umum dan disebut teorema Gauss-Markov. Teorema ini menyatakan bahwa penaksir tak bias terbaik yaitu variansinya terkecil dari dan .

Diantara semua penaksir yang merupakan fungsi linear dari Y₁, Y₂, …, Y_n bila x₁, x₂, …, x_n merupakan nilai yang telah tertentu, ialah yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil. Jika Y_1, Y₂, …, Y_n sebuah pengamatan bebas dan E (Y_i) = dan Var (Y_i) = , i = 1, 2, …, n. Maka dapat ditunjukkan  dan  mempunyai variansi terkecil yang akan diberikan untuk hal dan .

 

	1

BAB II

MATERI PENDUKUNG

Untuk mendukung metode kuadrat terkecil untuk hal  dan  digunakan materi pendukung sebagai berikut:

2.1 Fungsi Distribusi

Definisi 1.

      Fungsi f(x) disebut fungsi distribusi komulatif  dari peubah acak diskrit X, jika f(x) = P (X = x).

2.2 Ekspektasi

Definisi 2.

      Bagi suatu peubah acak X didefinisikan ekspektasinya (E(X)) atau sebagai:

 =          E(X) = ,     bila X diskret dan

      =            E(X) = , bila X kontiniu

Definisi 3.

      Bila F (y  x) diskret, maka rataan bersyarat dari Y, bila X diketahui adalah:

      E(Y  X=x) = 

2.3 Variansi

Definisi 4.

2

      Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi f(x), variansi dari X dinyatakan dengan Var (X) atau (X) adalah:

      (X) = f(x)

2.4 Kovariansi

Definisi 5.

      Kovariansi dari X dan Y, dinyatakan dengan Kov (X,Y) adalah:

      Kov (X,Y) = E{(X – E(X))(Y – E(Y))}

2.5 Peluang Bersyarat

Definisi 6.

      Jika (x, y) adalah sembarang titik dengan f (x) > 0, maka peluang bersyarat dari

      f (y  x) = , f(x) > 0

Teorema 1.

      Bila E(Y  X = x) = ada dan bila F (y  x)  diskrit, maka:

      E (Y) = E (Y  X = x) . f(x)

Bukti:

      Menurut definisi 3

     

      sehingga apabila kedua ruas dikalikan dengan , diperoleh

     

                                   

      dengan kesamaan terakhir diperoleh karena

     

      sekarang jumlahkan terhadap x, diperoleh

     

                                         

                                         

                                         

      Perluasan teorema di atas juga berlaku pada peubah acak. E(Y  X) sehingga:

      E (E(Y  X)) = E (Y)         

2.6 Fungsi Peluang Marginal

Definisi 7.

      Fungsi peluang marginal dari  adalah nama yang diberikan bagi

      [ untuk ] ;

     

      Suatu perluasan yang berguna dari Teorema 1 menyatakan bahwa

     

2.7 Kurva Regresi Y pada X

Definisi 8.

      Fungsi f(X) yang meminimumkan E ( Y – f(x) )²

      disebut kurva regresi Y pada X

Teorema 2:

Andaikan (X,Y) mempunyai fungsi distribusi dwi peubah, Var (X) dan Var (Y) keduanya ada. Maka kurva regresi Y pada X adalah (untuk semua x);

f(x) =  E ( Y   X = x ) ………….. (2.1)

Bukti:

      Andaikan f(x) menyatakan harapan bersyarat E ( Y   X = x )

      Andaikan pula suatu fungsi yang umum dari rataan populasi, maka kuadrat galat prediksinya adalah:

      E ( Y - )²  = E

………... (2.2)

Akan ditunjukkan:  = 0

Dapat digunakan:

                                                       

                                                         =

                                                         =

      Jadi;

     

     

          ………..………………  (2.3)

      Ambil sebagai fungsi f ( X ), maka;

      Jadi,   …….…………….   (2.4)

      dari (2.3) dan (2.4) diperoleh bahwa suku tengah dari (2.2) adalah nol.

      Sehingga,

       ………. (2.5)

      Yang jelas menjadi minimum.

      Maka 2.5 menjadi;

2

  =

            =

                                       

                               

                                        f ( X ) =

Jika seandainya kurva regresi  dari Y pada X mungkin saja amat rumit atau sulit dicari, atau karena hubungan antara X dan Y kurang lebih linear. Kita akan mencari fungsi linear dari X yang terbaik untuk memprediksi Y.

2.8 Garis Regresi Y pada X

Definisi 9:

 dan  yang menyebabkan  + X meminimumkan E ( Y – ( + X) )² masing-masing tetapan regresi dan koefisien regresi dari Y pada X. Garis y =  + X disebut garis regresi Y pada X.

Teorema 3:

Misalkan y =  + X;

    ………………..………….. (2.6)

                       ………………..………….. (2.7)

      Jika   menurut (2.6) dan  menurut (2.7) maka garis regresi menjadi;

       atau

      dengan rataan kuadrat galat prediksi

Bukti:

      Untuk  dan  yang umum;

      =    ²

      =

      =  … (2.8)           Terlihat bahwa  pada (2.8) hanya terdapat pada suku , sehingga untuk setiap ,  yang terbaik adalah . Dengan memisalkan ^* = , maka dari (2.8) diperoleh;

……… (2.9)

Akan ditunjukkan:  = 0

Ambil  =  , maka diperoleh;

Dari persamaan ^* = , dimasukkan nilai  menjadi:

^* =

Substitusikan nilai ^* dan  ke persamaan y =  + x, sehingga persamaan garis regresi menjadi y =    ……………. (2.10)

Maka (2.9) menjadi minimum jika:

 dan

^* =

Sehingga (2.9) menjadi:

Kedua teorema di atas masing-masing merupakan suatu teori tentang kurva regresi Y pada X dan garis regresi Y pada X, dan untuk menghitungnya diperlukan keterangan yang lengkap tentang fungsi dwipeubah (X,Y).

Suatu cara untuk menaksir garis regresi adalah metode kuadrat terkecil yaitu dengan menaksir  dan  dengan  dan sehingga meminimumkan jumlah kuadrat galat dan memprediksikan Y_i dengan  + X_i (i = 1, 2, …, n) yaitu yang meminimumkan;

      ………………… (2.11)

Teorema 4:

Andaikan (X₁, Y₁), …, (X_n,Y_n) dengan n pengamatan bebas dari suatu fungsi dwi peubah.

Maka taksiran metode kuadrat terkecil dari garis regresi Y pada X adalah y =   dengan:   ,            ,           dan

 ,      ,

,  

Bukti:

Dari (2.11) yaitu menurut definisi metode kuadrat terkecil diturunkan terhadap  dan  kemudian disamakan dengan nol maka diperoleh;

                  ………………… (2.12)

                 ………………… (2.13)

dari (2.12) dan (2.13) diperoleh:

                                         ………………… (2.14)

                         …………………. (2.15)

sehingga didapat:

                                                   ………………… (2.16)

                                                            ………………… (2.17)

BAB III

Metode Kuadrat Terkecil Untuk Hal  Dan

Teorema 5:

Andaikan Y_1, Y₂, …, Y_n sebuah pengamatan bebas dan E (Y_i) = dan Var (Y_i) =  dengan (i = 1, 2, …, n). Maka dari semua penaksir  dan yang merupakan fungsi linear dan Y₁, Y₂, …, Y_n,  dan  dari teorema 4 masing-masing mempunyai variansi terkecil.

Bukti:

Pandanglah penaksir linear  yang sembarang

Misalkan t = u₁Y₁ + u₂Y_{2 +} … + u_nY_n

Sekarang t merupakan penaksir  yang tak bias bila E(t)   yaitu;

………………… (3.1)

karena (3.1) berlaku untuk semua , maka haruslah;

 dan                                      ………………… (3.2)

Variansi t yang harus diminimumkan dengan (3.2) adalah

Var (t) = Var                  ………………… (3.3)

10

Sehingga, sudah cukup bila u₁² + u₂² + …. + u_n² diminimumkan dengan u₁ + u₂ + … + u_n = 1 dan u₁x₁ + u₂x₂ + … + u_nx_n = 0

Andaikan (untuk i = 1, 2, …, n) 

                                        …………………. (3.4)

maka u_i dapat dinyatakan sebagai

u_i = v_i +        dengan (i = 1, 2, …, n)                 ………………… (3.5)

untuk suatu , mengingat (3.2) maka haruslah;

tetapi:

 dan

sehingga haruslah;

 dan

dengan menggunakan (3.5);

BAB IV

KESIMPULAN

           

            Permasalahan yang dikemukakan dalam pembahasan metode kuadrat terkecil untuk hal dan  berkenaan dengan bidang statistika yang dikenal sebagai model linear. Dalam hal ini, yang menyangkut persoalan inferensi statistik yang muncul bila kita anggap bahwa peubah acak Y dapat dinyatakan sebagai;

                    ………………. (4.1)

            Disini; x₀, x₁, …, x_m dan m adalah tetapan yang diketahui; _{0, 1}, …, _m tetapan yang tidak diketahui; dan suatu peubah acak dengan E() = 0 yang distribusinya tidak berubah bila parameter _{0, 1}, …, _m berubah. Bila dimisalkan m = 1, x₀ = 1, ₀ = , x₁ = x, dan ₁ = , maka (4.1) menjadi model Y = + X + .

	12

 

DAFTAR PUSTAKA

Dudewich, E. J. dan Misra, S. N., 1995, Statistika Matematika Modern, Institut Teknologi Bandung, Bandung.

Herryanto, Nur. 2003. Statistika Matematika Lanjutan, CV. Pustaka Setia, Bandung.

Walpole, E. R. dan Myers, R. H., 1986, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, ITB, Bandung

                       

	13

METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK HAL dan

 

Untuk Melengkapi Tugas Matakuliah

Seminar Matematika

OLEH:

TESI TRIANI PUTRI

NIM. 0011340

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2007

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah Ta’ala atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga peneliti dapat menyelesaikan makalah seminar matematika yang berjudul “Metode Kuadrat Terkecil Untuk Hal dan ”.

Dalam menyelesaikan makalah seminar matematika ini telah banyak pihak yang terlibat dalam memberikan bantuan, dorongan, bimbingan dan motivasi. Oleh karena itu peneliti mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya terutama kepada:

1.      Bapak Drs. Zulfan Ritonga, M.Pd, selaku dosen pembimbing I yang telah banyak memberikan sumbangan pemikirannya untuk perbaikan makalah ini.

2.      Ibu Syarifah Nur Siregar, S.Si selaku pembimbing II yang telah memberikan sumbangan pemikirannya untuk penulisan makalah ini.

3.      Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Riau.

Semoga bantuan, dorongan, dan keikhlasan yang telah diberikan mendapat balasan yang setimpal dari Allah Ta’ala, Amin. Meskipun penulisan makalah seminar matematika ini telah dilakukan dengan segala upaya dan usaha yang maksimal, mungkin masih terdapat kesalahan dan kekurangan. Untuk itu saran dan kritik dari semua pihak sangat peneliti harapkan demi kesempurnaan makalah seminar matematika ini.

Semoga Allah Ta’ala melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada kita semua. Akhir kata peneliti mengharapkan makalah seminar matematika ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan bagi yang membutuhkan. Amin Ya Robbal Alamin.

                                                                                           Penulis

	i

DAFTAR ISI

 

                                                                                                                                                       Halaman

KATA PENGANTAR   ………………………………………………………………….        i

DAFTAR ISI   ……………………………………………………………………………       ii

BAB I.    PENDAHULUAN …………………………………………………………….        1

BAB II.  MATERI PENDUKUNG  …………………………………………………….        2

                2.1. Definisi Fungsi Distribusi  …………………………………………………        2

                2.2. Definisi Ekspektasi   ……………………………………………………….        2

                2.3. Definisi Variansi   ………………………………………………………….        2

                2.4. Definisi Kovariansi   ……………………………………………………….        3

                2.5. Definisi Peluang Bersyarat   ……………………………………………….        3

                2.6. Definisi Fungsi Peluang Marginal   ………………………………………..        4

                2.7. Definisi Kurva Regresi Y pada X  ………………………………………...        4

                2.8. Definisi Garis Regresi Y pada X  ………………………………………….        6

BAB III. METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK HAL dan ….……………      10

BAB IV. KESIMPULAN ………………..………………………………………………      12

DAFTAR PUSTAKA

	ii